第二章 一元函数微分学

2 第二章 一元函数微分学

2.1 导数与微分的概念

1. 导数定义
2. 导函数
3. 一元函数可微的定义
4. 可导与可微的关系

2.2 导数与微分的计算

1. 基本求导公式
2. 和差积商求导法则
3. 链式法则
4. 微分计算
5. 和差积商微分法则
6. 隐函数求导
7. 反函数求导
8. 参数方程求导
9. 幂函数求导
10. 高阶导数
    1. 莱布尼兹
    2. 泰勒级数

2.3 导数的应用

1. 几何意义
2. 曲率、曲率圆、曲率半径
3. 物理应用

2.4 函数的单调性、极值与最值

1. 函数单调性与一阶导数的关系（注意事项）
2. 极值与最值
   1. 定义
   2. 可导函数取极值的必要条件
   3. 极值的第一充分条件
   4. 极值的第二充分条件
   5. 求极值的一般步骤和注意事项
   6. 求最值的一般步骤和注意事项

2.5 曲线的凹凸性、拐点及渐近线

1. 凹凸性
   1. 定义
   2. 几何性质（曲线与弦的位置关系）
   3. 与二阶导数的关系
2. 拐点
   1. 定义
   2. 必要条件
   3. 充分条件
   4. 求解步骤
3. 渐近线
   1. 水平
   2. 铅直
   3. 斜
   4. 求解步骤
4. 利用导数分析函数性态的步骤

2.6 一元函数微分学的综合应用

1. 定理
   1. 零点定理
   2. 介值定理
   3. 罗尔定理
   4. 拉格朗日中值定理
   5. 柯西中值定理
2. 解题策略
   1. 存在性问题
   2. 个数问题
   3. 不等式证明
      1. 利用函数单调性
      2. 利用函数最值
      3. 利用微分中值定理或者泰勒公式
      4. 利用曲线的凹凸性
      5. 若为数值不等式辅助函数转化函数不等式
   4. 辅助函数选取策略
      • 直接看出来（简单的记忆）
      • 求解微分方程 C 的等号对面就是辅助方程